已知函數(shù)f(x)=lg(
2a
1+x
-1)（其中a＞0）．求證：
（1）用反證法證明函數(shù)f（x）不能為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1．
證明：（1）假設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
∴lg(
2a
1-x
-1)=lg(
2a
1+x
-1)，即
2a
1-x
-1=
2a
1+x
-1，化簡(jiǎn)得：
4ax
1-x2
=0，
∴a=0，與條件a＞0矛盾，
∴函數(shù)f（x）不能為偶函數(shù)．…（7分）
（2）充分性：由a=1，函數(shù)f(x)=lg(
2
1+x
-1)=lg
1-x
1+x
，
∵
1-x
1+x
＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=lg
1-x
1+x
+lg
1+x
1-x
=lg1=0，
∴當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（10分）
必要性：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=lg(
2a-1-x
1+x
)+lg(
2a-1+x
1-x
)=0，化簡(jiǎn)得（2a-1）2=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴當(dāng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，a=1．…（14分）
（注：必要性的證明也可由定義域的對(duì)稱性得到a=1）
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時(shí)，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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