Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+b
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為3x-y+4=0，求a、b的值
（2）若f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為3x-y+4=0，得到切線的斜率k=3，切點坐標為（1，7），利用導(dǎo)數(shù)即可求a、b的值
（2）若f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，則f′（x）≤0在（0，1）內(nèi)恒成立，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為3x-y+4=0，
則切線的斜率k=3，切點坐標為（1，7），
∵f（x）=x³-ax²-x+b，
∴f′（x）=3x²-2ax-1，
則

f(1)=1-a-1+b=7 f′(1)=3-2a-1=3

，
解得a=-

1

2

，b=

13

2

．
（2）若f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
則f′（x）=3x²-2ax-1≤0在（0，1）內(nèi)恒成立，
即3x²-1≤2ax，
即2a≥3x-

1

x

，
∵y=3x-

1

x

在（0，1）是增函數(shù)，
∴y=3x-

1

x

＜3-1=2，
則2a≥2，即a≥1，
則實數(shù)a的取值范圍a≥1．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力．