Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，點A，B在橢圓上，F(xiàn)₁在線段AB上，且△ABF₂的周長等于4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過圓O：x²+y²=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線PM和PN與圓O交于點M，N，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓定義及△ABF₂的周長等于4$\sqrt{3}$，可知a=$\sqrt{3}$，利用e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，可知c=$\sqrt{2}$，通過b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$可知b=1，進而可得結(jié)論；
（2）通過設(shè)P（x₀，y₀）及過P點的直線為y-y₀=k（x-x₀），并與橢圓方程聯(lián)立，通過令根的判別式為0，計算可知過圓O：x²+y²=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線均垂直，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABF₂的周長等于4$\sqrt{3}$，且F₁在邊AB上，
∴（BF₁+BF₂）+（AF₁+AF₂）=4$\sqrt{3}$，
∴2a+2a=4$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$，
又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴c=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）依題意，設(shè)P（x₀，y₀），設(shè)過P點的直線為y-y₀=k（x-x₀），
記b=-kx₀+y₀，整理得：y=kx+b，并代入橢圓方程，得：
x²+3k²x²+6kbx+3b²-3=0，
令△=0，得9k²b²-3b²-9k²b²+9k²+3=0，
∴9k²-3b²+3=0，即3k²-b²+1=0，
又∵b=-kx₀+y₀，
∴3k²-k²x₀²+2kx₀y₀-y₀²+1=0，
∵△=3y₀²+x₀²-3＞0，
∴k₁•k₂=$\frac{-{{y}_{0}}^{2}+1}{3-{{x}_{0}}^{2}}$，
又∵x₀²+y₀²=4，即y₀²=4-x₀²，
∴k₁•k₂=$\frac{-（4-{{x}_{0}}^{2}）+1}{3-{{x}_{0}}^{2}}$=-1，
∴過圓O：x²+y²=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線均垂直，
∴MN為圓O的直徑，
∴當(dāng)P點為（0，±2）時，△PMN面積的最大，最大值為$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．