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11、在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F(xiàn),E1分別是棱AA1,BB1,A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:CE∥平面C1E1F;
(2)求證:平面C1E1F⊥平面CEF.
分析:(1)要求證:CE∥平面C1E1F,取CC1的中點(diǎn)G,連接B1G交C1F于點(diǎn)F1,連接E1F1,A1G,F(xiàn)G,證明E1F1∥CE即可;
(2)要證:平面C1E1F⊥平面CEF,證明C1F⊥CF,EF⊥C1F即可.
解答:證明:(1)取CC1的中點(diǎn)G,連接B1G交C1F于點(diǎn)F1,連接E1F1,A1G,F(xiàn)G,
∵F是BB1的中點(diǎn),BCC1B1是矩形,
∵四邊形FGC1B1也是矩形,
∴FC1與B1G相互平分,即F1是B1G的中點(diǎn).
又E1是A1B1的中點(diǎn),∴A1G∥E1F1
又在長方體中,AA1綊CC1,E,G分別為AA1,CC1的中點(diǎn),
∴A1E綊CG,∴四邊形A1ECG是平行四邊形,
∴A1G∥CE,∴E1F1∥CE.
∵CE?平面C1E1F,E1F1?平面C1E1F,
∴CE∥平面C1E1F.
(2)∵長方形BCC1B1中,BB1=2BC,F(xiàn)是BB1的中點(diǎn),
∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形,
∴∠BFC=∠B1FC1=45°,
∴∠CFC1=180°-45°-45°=90°,
∴C1F⊥CF.
∵E,F(xiàn)分別是矩形ABB1A1的邊AA1,BB1的中點(diǎn),
∴EF∥AB.
又AB⊥平面BCC1B1,又C1F?平面BCC1B1
∴AB⊥C1F,∴EF⊥C1F.
又CF∩EF=F,∴C1F⊥平面CEF.
∵C1F?平面C1E1F,∴平面C1E1F⊥平面CEF.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行和垂直的判定,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=
3
,AD=
3
,AA′=1,則AA′和BC′所成的角是( �。�
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一個(gè)棱錐C-A′DD′,求棱錐C-A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.

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(2013•上海) 如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.證明直線BC′平行于平面D′AC,并求直線BC′到平面D′AC的距離.

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(2009•青浦區(qū)二模)(理)在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.
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(2)二面角B-AC-B'的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

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精英家教網(wǎng)已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)E為棱CC′上任意一點(diǎn),AB=BC=2,CC′=1.
(Ⅰ)求證:平面ACC′A′⊥平面BDE;
(Ⅱ)若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn),點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn),求二面角P-BD-E的余弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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