Question

15．下列4個命題：
①?x∈（0，1），（$\frac{1}{2}$）^x＞log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x．
②?k∈[0，8），y=log₂（kx²+kx+2）的值域?yàn)镽．
③“存在x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x≤5”的否定是”不存在x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x≤5”
④“若x∈（1，5），則f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2”的否命題是“若x∈（-∞，1]∪[5，+∞），則f（x）=x+$\frac{1}{x}$＜2”
其中真命題的序號是①④．（請將所有真命題的序號都填上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
②根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
③根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行判斷．
④根據(jù)否命題的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：①當(dāng)x∈（0，1），（$\frac{1}{2}$）^x＞0，log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x＜0．
∴?x∈（0，1），（$\frac{1}{2}$）^x＞log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x．故①正確，
②當(dāng)k=0時，滿足k∈[0，8），但此時y=log₂（kx²+kx+2）=log₂2=1，此時函數(shù)的值域?yàn)閧1}，不是R．故②錯誤
③“存在x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x≤5”的否定是”任意x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x＞5”，故③錯誤，
④“若x∈（1，5），則f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2”的否命題是“若x∈（-∞，1]∪[5，+∞），則f（x）=x+$\frac{1}{x}$＜2”，正確，故④正確，
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．