Question

【題目】已知函數(shù)

（I）討論的單調(diào)性；

（II）當(dāng)，是否存在實(shí)數(shù)，使得，都有？若存在求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)，在為增函數(shù)；當(dāng)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)； （II） .

【解析】

（I）先求得函數(shù)的定義域，對(duì)其求導(dǎo)后對(duì)分成兩類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（II）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)數(shù)列不等式，分離常數(shù)后利用基本不等式求得的取值范圍.

（I） 的定義域?yàn)?/span>

，

當(dāng)，則，在為增函數(shù)，

，令，解得或（舍去），

所以，當(dāng) span>，，在為增函數(shù)；

當(dāng) ，，在為減函數(shù)，

綜上所述，當(dāng)，在為增函數(shù)；

當(dāng)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)。

（II）不妨設(shè)，則，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得 ，都有，

則恒成立，

即恒成立，（*）

設(shè)，即（*）等價(jià)于在為單調(diào)遞增

等價(jià)于在恒成立，

等價(jià)于在恒成立，

等價(jià)于在恒成立，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，

∴，∴的取值范圍為