Question

10．用一邊長(zhǎng)為1米，另一邊長(zhǎng)為a（0＜a≤1）米的矩形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)長(zhǎng)為x的小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接而成，設(shè)該容器的容積為f（x）．
（1）求f（x）的表達(dá)式，并寫(xiě)出它的定義域；
（2）求容器的容積的最值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式能求出f（x）的表達(dá)式和它的定義域．
（2）求出f′（x）=12x²-（4a+4）x+a，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出容器的容積的最大值．

解答 解：（1）由題意得：
f（x）=（1-2x）（a-2x）x=4x³-（2a+2）x²+ax，
且滿足$\left\{\begin{array}{l}{1-2x＞0}\\{a-2x＞0}\\{0＜a≤1}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得0＜x＜$\frac{a}{2}$．
∴f（x）的表達(dá)式為f（x）=4x³-（2a+2）x²+ax，它的定義域?yàn)椋?，$\frac{a}{2}$）．
（2）∵f（x）=4x³-（2a+2）x²+ax，x∈（0，$\frac{a}{2}$）．
∴f′（x）=12x²-（4a+4）x+a，
由f′（x）=0，得x=$\frac{a+1+\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{6}$，或x=$\frac{a+1-\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{6}$
∵0＜a≤1，∴當(dāng)a=1時(shí)，容器的容積取最大值，
由f′（x）=0，得x=$\frac{1+1+\sqrt{{1}^{2}-1+1}}{6}$=$\frac{1}{2}$（舍），或x=$\frac{1+1-\sqrt{{1}^{2}-1+1}}{6}$=$\frac{1}{6}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{6}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴容器的容積的最大值為：
f（x）_max=f（$\frac{1}{6}$）=4×（$\frac{1}{6}$）³-4×（$\frac{1}{6}$）²+1×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的表達(dá)式及其定義域的求法，考查容器的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．