Question

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)f′(x)是減函數(shù),且f′(x)＞0,設(shè)x₀∈(0,+∞),y=kx+m是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x₀,f(x₀))處的切線(xiàn)方程,并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m.

(1)用x₀、f(x₀)、f′(x₀)表示m;

(2)證明當(dāng)x₀∈(0,+∞)時(shí),g(x)≥f(x);

(3)若關(guān)于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立,其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b 所滿(mǎn)足的關(guān)系.

Answer 1

解析：本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義,函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問(wèn)題的能力.

答案：(1)解:m=f(x₀)-x₀f′(x₀).?

(2)證明:令h(x)=g(x)-f(x),則h′(x)=f′(x₀)-f′(x),h′(x₀)=0.?

因?yàn)?I >f′(x)遞減,所以h′(x)遞增.因此,當(dāng)x＞x₀時(shí),h′(x)?＞0;

當(dāng)x＜x₀時(shí),h′(x)＜0.?

所以x₀是h(x)唯一的極值點(diǎn),且是極小值點(diǎn),可知?h(x)?的最小值為0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x).?

(3)解法一:0≤b≤1,a＞0是不等式成立的必要條件,以下討論設(shè)此條件成立.?

x²+1≥ax+b,即x²-ax+(1-b)≥0對(duì)任意x∈成立的充足條件是.?

另一方面,由于f(x)= 滿(mǎn)足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)y=f(x)的條件,利用(2)的結(jié)果可知,ax+b≥的充要條件是:過(guò)點(diǎn)(0,b)與曲線(xiàn)y=相切的直線(xiàn)的斜率不大于a,該切線(xiàn)的方程為y=(2b) x+b.?

于是ax+b≥的充要條件是a≥(2b).?

綜上,不等式x²+1≥ax+b≥對(duì)任意x∈成立的充足條件是.                                             ①?

顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:?

不等式(2b)≤2(1-b)②有解,解不等式②得.③?

因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實(shí)數(shù)a與b所滿(mǎn)足的關(guān)系.?

解法二:0≤b≤1,a＞0是不等式成立的必要條件,以下討論設(shè)此條件成立.?

x²+1≥ax+b,即x²-ax+(1-b)≥0對(duì)任意x∈成立的充足條件是.?

令φ(x)=ax+b-,于是ax+b≥對(duì)任意x∈成立的充足條件是

,得x=a^-3 .?

當(dāng)0＜x＜a^-3 時(shí),φ′(x)＜0;?

當(dāng)x＞a^-3 時(shí),φ′(x)＞0.?

所以,當(dāng)x=a^-3?時(shí),φ(x)取最小值.?

因此φ(x)≥0成立的充要條件是φ(a^-3)≥0,即a≥(2b) .

綜上,不等式x²+1≥ax+b≥對(duì)任意x∈成立的充足條件是.                                    ①?

顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:不等式(2b)≤2(1-b)②有解.?

解不等式②得≤b≤.                     ③?

因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實(shí)數(shù)a與b所滿(mǎn)足的關(guān)系.