Question

8．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+5\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²+2ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=3．
（1）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；
（2）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+5\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²+2ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=3．展開可得：ρ²+2ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（sinθ+cosθ）=3．利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，求出圓心C到直線l的距離d，與半徑2半徑即可得出直線l與曲線C的位置關(guān)系．
（2）設(shè)x=2cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=2sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得x+y=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出取值范圍．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+5\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），消去參數(shù)t可得：普通方程：x+y-5$\sqrt{2}$=0．
曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²+2ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=3．展開可得：ρ²+2ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（sinθ+cosθ）=3．
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²+$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y=3．配方為：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=4，
可得圓心C$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，半徑r=2．
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-5\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=4＞2，
因此直線l與曲線C的位置關(guān)系是相離．
（2）設(shè)x=2cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=2sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則x+y=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，∵sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈[-1，1]．
∴x+y∈$[-\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．