Question

已知直線ax+by=1和點(diǎn)A（b，a）（其中a，b都是正實(shí)數(shù)），若直線過點(diǎn)P（1，1），則以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓面積的最小值等于

π

2

．

Answer 1

分析：直線ax+by=1過點(diǎn)P（1，1），則a+b=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓面積的最小時(shí)，OA最小，利用基本不等式可求結(jié)論．

解答：解：∵直線ax+by=1過點(diǎn)P（1，1），∴a+b=1，
以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓面積的最小時(shí)，OA最小，
∵A（b，a），∴OA=

a2+b2

，
∵a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²=1，
∴OA≥

2

2

，
∴以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓面積的最小值等于

π

2

．
故答案為：

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．