已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于(a－c)．

(1)證明：橢圓上的點(diǎn)到F2的最短距離為a－c；

(2)求橢圓的離心率e的取值范圍；

(3)設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k(k＞0)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長S的最大值．

答案：
解析：

　　解：(1)假設(shè)橢圓上的任一點(diǎn)P(x0，y0)

　　則|PF2|2＝(x0－c)2＋y02由橢圓方程易得︱PF2︱2＝x02－2cx0＋c2＋b2，顯然當(dāng)x0＝a時，︱PF2︱最小值為a－c．4分

　　(2)依題意知當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值時，取最小值

　　∴，又因?yàn)?I>b－c＞0，

　　得；8分

　　(3)依題意Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，代入橢圓方程得

　　設(shè)，則，，；10分

　　又OA⊥OB，∴·＝0，

　　∴，即，直線的方程為

　　圓心到直線的距離

　　由圖象可知

　　；12分

　　由得∴；14分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線＝1的離心率為

[　　]

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年高考數(shù)學(xué)理科(四川卷) 題型：044

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e＝，右準(zhǔn)線方程為x＝2．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省高三3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.點(diǎn)P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2.

(ⅰ)證明：＝2.

(ⅱ)問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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