Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，左，右頂點分別為A₁，A₂．過F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線l與另一條漸近線相交于P，若P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，則雙曲線C的離心率為（　　）

A． 2

B．2

C． 3

D．3

Answer 1

由題意可得：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為：y=±

b

a

x，
所以設(shè)直線l的方程為：y=

b

a

(x-c)，則直線l與雙曲線的另一條漸近線的交點為：P（

c

2

，-

bc

2a

），
所以

PA1

=(-a-

c

2

，

bc

2a

)，

PA2

=(a-

c

2

，

bc

2a

)．
因為P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，
所以

PA1

•

PA2

=0，即(-a-

c

2

，

bc

2a

)•(a-

c

2

，

bc

2a

)=0，
所以整理可得：b²c²=4a⁴-a²c²
所以結(jié)合b²=c²-a²可得：2a²=c²，所以e=

c

a

=

2

．
故選A．