A是由在[1,4]上有意義且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合;
①對任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
②存在常數(shù)L(0<L<1),使得對任意的x1,x2∈[1,2]都有|φ(2x1)-φ(2x2)|=L|x1-x2|
(1)設(shè)φ(x)=
2x+15
18
,x∈[1,2]
,證明:φ(x)∈A;
(2)設(shè)φ(x)=
x2+15
18
,x∈[1,2]
,是否存在設(shè)x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),如存在,求出所有的x0,如不存在請說明理由!
分析:(1)先根據(jù)x的范圍求出φ(2x)的取值范圍,判定是否滿足φ(2x)∈(1,2),然后判定是否對任意的x1,x2∈[1,2]都有|φ(2x1)-φ(2x2)|=L|x1-x2|,從而得到結(jié)論;
(2)先假設(shè)存在,根據(jù)x0=φ(2x0)建立方程,然后解方程,最后求出滿足條件的x0,從而得到結(jié)論.
解答:證明:(1)因為x∈[1,2],所以φ(2x)=
4x+15
18
,x∈[1,2],
19
18
≤φ(2x)≤
23
18
∴φ(2x)∈(1,2);
對任意的x1,x2∈[1,2],
|φ(2x1)-φ(2x2)|=|
4x1+15
18
-
4x2+15
18
|=
2
9
||x1-x2|
取L=
2
9
∈(0,1),使|φ(2x1)-φ(2x2)|=L||x1-x2|成立
故φ(x)∈A;
(2)存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),
即x0=
4x02+15
18
,x0∈(1,2),
得4x02-18x0+15=0,解得x0=
21
4

經(jīng)檢驗x0=
9-
21
4
∈(1,2),
所以存在x0=
9-
21
4
∈(1,2),使得x0=φ(2x0).
點評:本題主要考查了函數(shù)恒成立問題,以及函數(shù)的值域等有關(guān)知識,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的,對于任意的x≥0,f(x)∈[-2,4)且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
(1)試判斷f1(x)=
x
-2
及f2(x)=4-6?(
1
2
x(x≥0)是否在集合A中,若不在集合A中,試說明理由;
(2)對于(1)中你認為是集合A中的函數(shù)f(x),不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否對于任意x≥0總成立?試證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•延慶縣一模)A是由定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:
(1)對任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
(2)存在常數(shù)L(0<L<0),使得對任意的x1,x2∈[1,2],都有|?(2x1)-?(2x2)|≤L|x1-x2|.
(Ⅰ)設(shè)φ(x)=
31+x
,x∈[2,4],證明:φ(x)∈A;
(Ⅱ)設(shè)φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;
(Ⅲ)設(shè)φ(x)∈A,任取xn∈(1,2),令xn+1=φ(2nx),n=1,2,…,證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|
成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

A是由在[1,4]上有意義且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合;
①對任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
②存在常數(shù)L(0<L<1),使得對任意的x1,x2∈[1,2]都有|φ(2x1)-φ(2x2)|=L|x1-x2|
(1)設(shè)數(shù)學公式,證明:φ(x)∈A;
(2)設(shè)數(shù)學公式,是否存在設(shè)x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),如存在,求出所有的x0,如不存在請說明理由!

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年上海市高三4月調(diào)研數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

A是由在[1,4]上有意義且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合;
①對任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
②存在常數(shù)L(0<L<1),使得對任意的x1,x2∈[1,2]都有|φ(2x1)-φ(2x2)|=L|x1-x2|
(1)設(shè),證明:φ(x)∈A;
(2)設(shè),是否存在設(shè)x∈(1,2),使得x=φ(2x),如存在,求出所有的x,如不存在請說明理由!

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