Question

已知等比數{a_n}，a₁=1，a₄=8，在a_n與a_n+1兩項之間依次插入2^n-1個正整數，得到數列{b_n}，即a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…則數列{b_n}的前2013項之和S₂₀₁₃=

2007050

（用數字作答）．

Answer 1

分析：在數列{b_n}中，到a_n項共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+

1×(2n-1-1)

2-1

=2^n-1+n-1項，即為f（n）（n≥2），因此判斷出共含有a_n的項數，進而即可得出S₂₀₁₃．

解答：解：在數列{b_n}中，到a_n項共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+

1×(2n-1-1)

2-1

=2^n-1+n-1項，即為f（n）（n≥2）．
則f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．
設等比數{a_n}的公比為q，由a₁=1，a₄=8，得1×q³=8，解得q=2，
因此S₂₀₁₃=a₁+a₂+…+a₁₀+a₁₁+1+2+3+…+2002=

1×(211-1)

2-1

+

2002×(1+2002)

2

=2007050．
故答案為2007050．

點評：熟練掌握等差數列和等比數列的前n項和公式及由已知判斷出共含有a_n的項數是解題的關鍵．