Question

已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：構(gòu)造數(shù)列{a_n+1+λa_n}成等比數(shù)列，求出前3項(xiàng)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，直接求出λ的值，得出{a_n+2a_n-1}是首項(xiàng)為15公比為3的等比數(shù)列，{a_n-3a_n-1}是首項(xiàng)為-10，公比為-2的等比數(shù)列，得到方程組，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
設(shè)數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，
∴前三項(xiàng)分別為5+5λ，35+5λ，65+35λ 
∴（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
當(dāng)n≥2時，{a_n+2a_n-1}是首項(xiàng)為15公比為3的等比數(shù)列，
{a_n-3a_n-1}是首項(xiàng)為-10，公比為-2的等比數(shù)列．
得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，…①
a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1…②
由①-②得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，考查計算能力，利用數(shù)列的前3項(xiàng)是等比數(shù)列建立方程是解題的關(guān)鍵，用解方程組的方法求出數(shù)列通項(xiàng)，設(shè)計巧妙，值得借鑒．