【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)。
(Ⅰ)寫(xiě)出的方程;
(Ⅱ)若,求的值。
【答案】(Ⅰ)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸為2的橢圓.它的短半軸,故曲線C的方程為.
(Ⅱ)設(shè),其坐標(biāo)滿足
消去y并整理得,故.
若,即.而,
于是,化簡(jiǎn)得,所以.
【解析】
試題(1)根據(jù)橢圓的定義,可判斷點(diǎn)的軌跡為橢圓,再根據(jù)橢圓的基本量,容易寫(xiě)出橢圓的方程,求曲線的方程一般可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為,然后去探求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程,但如果根據(jù)特殊曲線的定義,先行判斷出曲線的形狀(如橢圓,圓,拋物線等),則可直接寫(xiě)出其方程;(2)一般地,涉及直線與二次曲線相交的問(wèn)題,則可聯(lián)立方程組,或解出交點(diǎn)坐標(biāo),或設(shè)而不求,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系求出參數(shù)的值(取值范圍),本題可設(shè),根據(jù),及滿足橢圓的方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系消去坐標(biāo)即得.
試題解析:(1)設(shè),由橢圓定義可知,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),
長(zhǎng)半軸為2的橢圓, 2分
它的短半軸, 4分
故曲線的方程為. 6分
(2)證明:設(shè),其坐標(biāo)滿足消去并整理,得
8分
故. 10分
即,而,
于是,
解得13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD垂直于底面ABCD,AD=PD=2,
E、F分別為CD、PB的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥平面PAB;
(2)設(shè),求直線AC與平面AEF所成角θ的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作兩條直線與,分別與拋物線相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn).
若直線過(guò)點(diǎn)且的重心在軸上,求直線的斜率;
若直線的斜率為1且的垂心在軸上,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若, ,求函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處切線斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐O﹣ABCD中,OA⊥底面ABCD,且底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,且OA=2,M,N分別為OA,BC的中點(diǎn).
(1)求證:直線MN平面OCD;
(2)求點(diǎn)B到平面DMN的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則( )
A. p1<p2<p3 B. p2<p1<p3
C. p1<p3<p2 D. p3<p1<p2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市有兩家共享單車(chē)公司,在市場(chǎng)上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的單車(chē),已知黃、藍(lán)兩種顏色的單車(chē)的投放比例為2:1.監(jiān)管部門(mén)為了了解兩種顏色的單車(chē)的質(zhì)量,決定從市場(chǎng)中隨機(jī)抽取5輛單車(chē)進(jìn)行體驗(yàn),若每輛單車(chē)被抽取的可能性相同.
(1)求抽取的5輛單車(chē)中有2輛是藍(lán)色顏色單車(chē)的概率;
(2)在騎行體驗(yàn)過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)藍(lán)色單車(chē)存在一定質(zhì)量問(wèn)題,監(jiān)管部門(mén)決定從市場(chǎng)中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門(mén)作進(jìn)一步抽樣檢測(cè),并規(guī)定若抽到的是藍(lán)色單車(chē),則抽樣結(jié)束,若抽取的是黃色單車(chē),則將其放回市場(chǎng)中,并繼續(xù)從市場(chǎng)中隨機(jī)地抽取下一輛單車(chē),并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過(guò)()次.在抽樣結(jié)束時(shí),已取到的黃色單車(chē)以表示,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】“中國(guó)式過(guò)馬路”的大意是湊夠一撮人即可走,跟紅綠燈無(wú)關(guān).部分法律專(zhuān)家的觀點(diǎn)為“交通規(guī)則的制定目的就在于服務(wù)城市管理,方便行人,而‘中國(guó)式過(guò)馬路’是對(duì)我國(guó)法治化進(jìn)程的嚴(yán)重阻礙,反應(yīng)了國(guó)人規(guī)則意識(shí)的淡薄.”某新聞媒體對(duì)此觀點(diǎn)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”“中立”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如表所示:
支持 | 中立 | 不支持 | |
20歲以下 | 700 | 450 | 200 |
20歲及以上 | 200 | 150 | 300 |
在所有參與調(diào)查的人中,用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人,則持“支持”態(tài)度的人中20歲及以上的有_________人
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