分析 (1)通過平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的恒等變形得到f(x)=sin($\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)先求得y=g(x)-k的解析式,從而可求g(x)的值域,由函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=k在$[0,\frac{7π}{3}]$的上有交點(diǎn),可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow m$=($\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$,1),$\overrightarrow n$=(cos$\frac{x}{4}$,${cos^2}\frac{x}{4}$),記f(x)=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$.
∴f(x)=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$•cos$\frac{x}{4}$+${cos^2}\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin($\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
∴最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π,
2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,
則4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$,k∈Z.
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[4kπ-$\frac{4π}{3}$,4kπ+$\frac{2π}{3}$],k∈Z;
(2))∵將函數(shù)y=f(x)=sin($\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)解析式為
:y=g(x)=sin[$\frac{1}{2}$(x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$)]+$\frac{1}{2}$=sin($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
∴則y=g(x)-k=sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$-k,
∵x∈[0,$\frac{7π}{3}$],可得:-$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤π,
∴-$\frac{1}{2}$≤sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$)≤1,
∴0≤sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$,
∴若函數(shù)y=g(x)-k在[0,$\frac{7π}{3}$]上有零點(diǎn),則函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=k在[0,$\frac{7π}{3}$]上有交點(diǎn),
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0,$\frac{3}{2}$].
∴當(dāng)k<0或k>$\frac{3}{2}$時(shí),函數(shù)y=g(x)-k在$[0,\frac{7π}{3}]$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是0;
當(dāng)0≤k<1時(shí),函數(shù)y=g(x)-k在$[0,\frac{7π}{3}]$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2;
當(dāng)k=0或k=$\frac{3}{2}$時(shí),函數(shù)y=g(x)-k在$[0,\frac{7π}{3}]$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.
點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題,考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法,函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法,考查計(jì)算能力.
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A. | (-∞,0)∪($\frac{1}{2}$,1) | B. | (-∞,0)∪(1,2) | C. | (-∞,$\frac{1}{2}$)∪(1,2) | D. | (-∞,$\frac{1}{2}$)∪(1,+∞) |
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