Question

函數(shù)f（x）=axⁿ（1-x）²在區(qū)間（0.1）上的圖象如圖所示，則n可能是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：先從圖象上得出原函數(shù)的最值（極值）點小于0.5，再把答案分別代入驗證法看哪個選項符合要求來找答案即可．
解答：由于本題是選擇題，可以用代入法來作，
由圖得，原函數(shù)的最值（極值）點小于0.5．
當n=1時，f（x）=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f'（x）=a（3x-1）（x-1），令f'（x）=0?x=，x=1，即函數(shù)在x=處有最值，故A對；
當n=2時，f（x）=ax²（1-x）²=a（x⁴-2x³+x²），有f'（x）=a（4x³-6x²+2x）=2ax（2x-1）（x-1），令f'（x）=0?x=0，x=，x=1，即函數(shù)在x=處有最值，故B錯；
當n=3時，f（x）=ax³（1-x）²，有f'（x）=ax²（x-1）（5x-3），令f'（x）=0，?x=0，x=1，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故C錯．
當n=4時，f（x）=ax⁴（1-x）²，有f'（x）=2x³（3x-2）（x-1），令f'（x）=0，?x=0，x=1，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故D錯
故選 A．
點評：本題主要考查函數(shù)的最值（極值）點與導函數(shù)之間的關(guān)系．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．本本題考查利用極值求對應變量的值．可導函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點．