Question

17．在△ABC中，若BC=2，A=60°，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$有（　　）

• A． 最大值-2
• B． 最小值-2
• C． 最大值2$\sqrt{3}$
• D． 最小值2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可先畫出圖形，根據(jù)BC=2，A=60°，對(duì)$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得到$4=|\overrightarrow{CA}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|$，從而得出$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|≤4$，這樣便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}≥-2$，從而得出正確選項(xiàng)．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$；
∴${\overrightarrow{CB}}^{2}={\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$，且BC=2，A=60°；
∴$4=|\overrightarrow{CA}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|$$≥2|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|$；
即$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|≤4$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CA}|≥-2$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$有最小值-2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，不等式a²+b²≥2ab的運(yùn)用，以及不等式的性質(zhì)．