Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（x，1），$\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{v}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
（Ⅰ）當$\overrightarrow{u}$∥$\overrightarrow{v}$時，求x的值；
（Ⅱ）當$\overrightarrow{u}$⊥$\overrightarrow{v}$時且x＜0時，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）進行向量坐標的加法和減法運算便可求出$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}$的坐標，根據(jù)向量平行時的坐標關(guān)系即可求出x的值；
（Ⅱ）根據(jù)向量垂直時的坐標關(guān)系即可求出x的值，從而得出向量$\overrightarrow$的坐標，進而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，這樣便可得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)條件，$\overrightarrow{u}=（1+2x，4）$，$\overrightarrow{v}=（2-x，3）$；
∴$\overrightarrow{u}∥\overrightarrow{v}$時，3（1+2x）-4（2-x）=0；
∴$x=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）當$\overrightarrow{u}⊥\overrightarrow{v}$時，$\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}=（1+2x）（2-x）+12=0$；
解得x=-2，或$\frac{7}{2}$（舍去）；
∴$\overrightarrow=（-2，1）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴$α=\frac{π}{2}$．

點評 考查向量加法、減法和數(shù)乘的坐標運算，以及向量平行和垂直時的坐標關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標運算，向量垂直的充要條件．