Question

（2013•杭州一模）設函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，（其中a＞0）
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）當a=4時，給出直線l₁：5x+2y=m=0和l₂：3x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷直線l₁或l₂中，是否存在函數(shù)f（x）的圖象的切線，若存在，求出相應的m或n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入，求導數(shù)，由導數(shù)的正負可得單調(diào)區(qū)間，進而可得極值；
（Ⅱ）把a=4代入可得導數(shù)≥4

2

-6，故l₁或l₂中，不存函數(shù)圖象的切線，令導數(shù)=3，可得n值．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0；當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0；
當x＞1時，f′（x）＞0．
所以當x=1時，f（x）取極小值-2．                    …（7分）
（Ⅱ）當a=4時，f′（x）=2x-6+

4

x

，∵x＞0，
∴f′（x）=2x+

4

x

-6≥4

2

-6，
故l₁或l₂中，不存函數(shù)圖象的切線．
由2x+

4

x

-6=3得x=

1

2

，或x=4，
當x=

1

2

時，可得n=-

17

4

-4ln2，
當x=4時，可得n=4ln4-20．                  （15分）

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義與函數(shù)的極值，屬中檔題．