Question

如圖所示，在四棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)且，為△中邊上的高.
（1）證明：平面；
（2）若，，，求三棱錐的體積；
（3）證明：平面.

Answer 1

（1）見解析；   （2）體積    （3）見解析

試題分析:（1）利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，條件齊全.（2）利用棱錐的體積公式求體積.（3）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.（4）在求三棱柱體積時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)牡鬃鳛榈酌妫�這樣體積容易計(jì)算.
試題解析:（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620262409.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620433371.png" style="vertical-align:middle;" />為△中邊上的高，
所以。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620948613.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面。                          4分
（2）連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620340318.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，
所以。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620496396.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以平面。
則，
。                  8分
（3）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620340318.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，  所以。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060621447740.png" style="vertical-align:middle;" />，    所以，
所以四邊形是平行四邊形，
所以。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620308499.png" style="vertical-align:middle;" />，      所以。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060620262409.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060621603600.png" style="vertical-align:middle;" />，  所以平面，
所以平面。                                          13分