Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其前n項和為S_n，已知a₁+a₄=-

7

16

，且有S₁，S₃，S₂成等差；
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），記T_n=|

b1

a1

|+|

b2

a2

|+|

b3

a3

|+…+|

bn

an

|，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比q，由S₁，S₃，S₂成等差列式求得q，結(jié)合a₁+a₄=-

7

16

求得首項，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把a_n、b_n代入|

bn

an

|，整理后利用錯位相減法求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵S₁，S₃，S₂成等差，
∴2（a1+a1q+a1q2）=a₁+a₁+a₁q．
整理得：2a₁（1+q+q²）=a₁（2+q）．
∵a₁≠0，
∴2+2q+2q²=2+q．
∴2q²+q=0，
又q≠0，∴q=-

1

2

．
又a1+a4=a1(1+q3)=-

7

16

，
把q=-

1

2

代入后可得a1=-

1

2

．
∴an=a1qn-1=（-

1

2

）×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
（Ⅱ）∵b_n=n，an=(-

1

2

)n
∴|

bn

an

|=|

n

(- 1 2 )n

|=n•2n，
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n．
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1．
∴-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．