Question

已知函數(shù)，且）．
（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（2）若，方程f (x) ="2" a x有惟一解時(shí)，求的值。

Answer 1

（1）當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),f(x)在(0,+)上是增函數(shù) ；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),f(x)在是減函數(shù),在是增函數(shù)  （2） 

(1)由已知得，x＞0且．
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),則,則f(x)在(0,+)上是增函數(shù); ……（2分）
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),則,,　 ……（3分）
所以當(dāng)x時(shí),, 當(dāng)x時(shí),，
故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),f(x)在是減函數(shù),在是增函數(shù)．……（5分）
（Ⅱ）若，則）
記g (x) = f (x) – 2ax = x² – 2 a xlnx – 2ax,
,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……（6分）
令,得，
（舍去）……（7分）
當(dāng)時(shí)，,在是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，,在上是單調(diào)遞增函數(shù)。
當(dāng)x=x₂時(shí), ,   …………（8分）
有唯一解， 
則，即 ………（9分）
   …………（10分）
設(shè)函數(shù)，
∵在x>0時(shí), h (x)是增函數(shù)，∴h (x) = 0至多有一解。
∵h (1) =" 0," ∴方程(*)的解為x₂ = 1，即，解得。…………（12分）