Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞

2

）的離心率為

2

2

，雙曲線C與該橢圓有相同的焦點，其兩條漸近線與以點（0，

2

）為圓心，1為半徑的圓相切．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線l經(jīng)過點M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出雙曲線C的焦點為F₁和F₂，由已知

c

a

=

a2-2

a

=

2

2

求得a和c，設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，根據(jù)圓心到直線的距離為1求得k，進而的雙曲線的漸近線方程，判斷出雙曲線C的實半軸長與虛半軸長相等，設為a₁，進而根據(jù)2a₁²=c²=2，求得a₁，雙曲線方程可得．
（2）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，進而根據(jù)判別式及題設條件求得m的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂由中點坐標公式得AB的中點，令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，進而根據(jù)m的范圍求得b的范圍．

解答：解：（1）設雙曲線C的焦點為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0．
由已知

c

a

=

a2-2

a

=

2

2

，
得a=2，c=

2

，
設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，
依題意，

|k•0- 2 |

k2+1

=1，解得k=±1．
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
故雙曲線C的實半軸長與虛半軸長相等，設為a₁，
則2a₁²=c²=2，得a₁²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0，
∴直線與雙曲線C的左支交于A、B兩點，
∴

1-m2≠0 △＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2m

1-m2

，x₁x₂=

-2

1-m2

，
y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2=

2

1-m2

，
由中點坐標公式得AB的中點為（

m

1-m2

，

1

1-m2

），
∴直線l的方程為x=（-2m²+m+2）y-2，
令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，
∵m∈（1，

2

），b的值存在，∴-2m²+m+2≠0，
∴b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8 ，

而-2（m-

1

4

）²+

17

8

∈（-2+

2

，0）∪（0，1），
∴故b的取值范圍是（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，平時應注意積累．