Question

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線與半橢圓相交于兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)是半橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由拋物線準(zhǔn)線與橢圓相交的弦長構(gòu)建方程求得p值即可；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知切線斜率不會為0，設(shè)出兩條切線的直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，由相切關(guān)系構(gòu)建方程，并由兩切點(diǎn)分別得到是方程的兩根，進(jìn)而由韋達(dá)定理與直線和方程的關(guān)系可知，是的兩點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式表示的底和高從而表示面積，最后換元求函數(shù)的最值即可.

（Ⅰ）由題可知，拋物線的準(zhǔn)線為，則有得，

所以.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，且滿足.

由題意可知切線斜率不會為0，即設(shè)切線為，

代入得，

由可得①，

設(shè)切點(diǎn)，拋物線的上半部曲線函數(shù)關(guān)系式為，則，

故，將其代入①可得②.

設(shè)切線為，切點(diǎn)，同理可得③.

由②③可知是方程的兩根，所以，，

又，，所以代入②③可知，是的兩點(diǎn)，即直線方程為.

故

又因?yàn)?/span>且，所以.

令，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，其在上單調(diào)遞減，故，

所以