如圖：內(nèi)接于⊙O的△ABC的兩條高線AD、BE相交于點(diǎn)H，過圓心O作OF⊥BC于 F，連接AF交OH于點(diǎn)G，并延長(zhǎng)CO交圓于點(diǎn)I．
（1）若
OF
=λ
AH
，試求λ的值；
（2）若
CH
=x
OA
+y
OB
，試求x+y的值；
（3）若O為原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，-3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（4，-3），試求點(diǎn)G的軌跡方程．
考點(diǎn)：軌跡方程
專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓
分析：（1）先判斷四邊形AIBH為平行四邊形，利用向量的線性運(yùn)算，可求λ的值；
（2）利用利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理，求x+y的值；
（3）利用代入法，可求點(diǎn)G的軌跡方程．
解答： 解：∵CI為直徑，
∴∠IAC和∠IBC均為直角，
∴AI∥BE，BI∥AD，
∴四邊形AIBH為平行四邊形
（1）
OF
=
1
2
IB
=
1
2
AH
=λ
AH
，∴λ=
1
2
；
（2）
OH
=
OB
+
BH
=
OB
+
IA

而
IA
=
OA
-
OI
=
OA
-
CO

∴
OH
=
OB
+
BH
=
OB
+
IA
=
OB
+
OA
+
OC

∴
CH
=
OA
+
OB
而
CH
=x
OA
+y
OB
，
∴x+y=2
（3）∵OF=
1
2
IB=
1
2
AH，∴FG=
1
2
GA又F為BC的中點(diǎn)，∴G為△ABC的重心
顯然，A的軌跡為除B，C外的⊙O，其方程為：x2+y2=25（y≠-3）
設(shè)A（x0，yo），G（x，y），則
x=
x0
3
y=
y0-3-3
3
，得：
x0=3x
y0=3y+6

代入⊙O的方程并化簡(jiǎn)得G的軌跡方程為：x2+(y+2)2=
25
9
（y≠-3）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查軌跡方程，考查代入法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法，不正確的是（　　）
①數(shù)據(jù)4、6、6、7、9、4的眾數(shù)是4；
②平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；
③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”；
④頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻數(shù)．
A、①②③B、②③
C、①④D、①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，G為中線AM的中點(diǎn)，O為△ABC外一點(diǎn)，若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，求
OG
（用
a
、
b
、
c
表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知4盒中有3個(gè)紅球，x個(gè)黑球（不少于紅球個(gè)數(shù)），B盒中有y個(gè)紅球，4個(gè)黑球．若分別從兩個(gè)盒子中各取一個(gè)球都是紅球的概率為
3
10
，都是黑球的概率為
1
5
．
（Ⅰ）求x，y的值；
（Ⅱ）如果從A，B中各取2個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為ξ．求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從10位學(xué)生中選出5人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽．
（1）甲必須選入的有多少種不同的選法？
（2）甲、乙、丙不能同時(shí)都入選的有多少種不同的選法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-
1
x
（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=-
1
2
x垂直，求切線方程；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=1，且x≥2時(shí)，證明f（x-1）≤2x-5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
2
=1（a＞2）的右焦點(diǎn)為F1，直線l：x=
a2
a2-2
與x軸交于點(diǎn)A，若
OF1
=2
F1A
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求
PE
•
PF
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)是F1（0，-
3
），F(xiàn)2（0，
3
），點(diǎn)P在橢圓上且滿足|PF1|+|PF2|=4．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1、A2，右頂點(diǎn)為B，圓E與以線段OA1為直徑的圓關(guān)于直線A2B對(duì)稱．求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）設(shè)T=
1+sin2θ
．
（1）已知sin（π-θ）=
3
5
，θ為鈍角，求T的值；
（2）已知cos（
π
2
-θ）=m，θ為鈍角，求T的值；
（Ⅱ）已知sinα=
2
5
，α是第二象限角，且tan（α+β）=3，求tanβ的值．

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