Question

如圖，設(shè)四棱錐S-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=

2

．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面ADS與平面ABS所夾角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC，取AB的中點E，連接SE、EC，證明SE⊥AB，SE⊥EC，即可證明SE⊥面ABCD，從而可得平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以E為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解平面ADS與平面ABS法向量所成角的余弦值得到平面ADS與平面ABS所夾角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，取AB的中點E，連接SE、EC，
∵SA=SB=

2

，
∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱錐S-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，AB=2，
∴CE=

3

，
又SC=2，∴SC²=CE²+SE²，
∴SE⊥EC，
∵AB∩EC=E，
∴SE⊥面ABCD，
∵SE?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，分別以EC，EB，ES為x軸、y軸、z軸的正半軸建立建立空間直角坐標(biāo)系．
則面ABS的一個法向量

m

=（1，0，0），A（0，-1，0），S（0，0，1），D(

3

，-2，0)，
∴

AD

=(

3

，-1，0)，

AS

=(0，1，1)，
設(shè)面ADS的法向量

n

=（x，y，z），
則

AD

•

n

=

3

x-y=0，

AS

•

n

=y+z=0，
令y=

3

，則x=1，z=-

3

，∴

n

=(1，

3

，-

3

)，
設(shè)平面ADS與平面ABS所夾角的大小為θ，則cosθ=

1

1• 7

=

7

7

．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求解二面角的大小，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．