Question

過點(diǎn)P（2，4）的直線l與雙曲線C：

x2

4

-

y2

8

=1交于A、B兩點(diǎn)，且

OA

+

OB

=2

OP

．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）過線段AB上的點(diǎn)作曲線y=x²+8x+12的切線，求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（Ⅲ）若過P的另一直線l₁與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，且

CD

•

AB

=0，則∠ACD=∠ABD一定成立嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程y-4=k（x-2），聯(lián)立直線和雙曲線的方程．再由

OA

+

OB

=2

OP

，即P是AB的中點(diǎn)．由中點(diǎn)公式即可求得k，得到直線方程．
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程．聯(lián)立方程，解得切線方程和直線l的交點(diǎn)，再由AB的范圍算出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍．
（3）由CD和AB垂直，寫出直線l₁的方程．聯(lián)立l₁和雙曲線的方程，解出C，D的坐標(biāo)．從而進(jìn)一步判斷AC，AD及BC，BD的關(guān)系．再由A，B，C，D四點(diǎn)共圓得證．

解答：解：（Ⅰ）由題意，直線l的斜率一定存在，可設(shè)直線l的方程為y-4=k（x-2），
則由

x2 4 - y2 8 =1 y-4=k(x-2).

得（2-k²）x²+（4k²-8k）x-4k²+16k-24=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

+

OB

=2

OP

，知P為AB中點(diǎn)，
所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=8．
由x1+x2=

4k2-8k

k2-2

=4，得k=1．
所以直線l的方程為y=x+2．
（Ⅱ）由y=x²+8x+12，得y'=2x+8．
設(shè)（x₀，y₀）為曲線y=x²+8x+12上一點(diǎn)，
過（x₀，y₀）的切線方程為y-y₀=（2x₀+8）（x-x₀），
即y=（2x₀+8）（x-x₀）+x₀²+8x₀+12．
與l方程聯(lián)立得

y=(2x0+8)(x-x0)+ x 2 0 +8x0+12 y=x+2

解得x=

x 2 0 -10

2x0+7

．
又由

x2 4 - y2 8 =1 y=x+2.

解得A（-2，0）、B（6，8）．
∴x=

x 2 0 -10

2x0+7

∈[-2，6]．
故6-2

22

≤x0≤6+2

22

．
（Ⅲ）∠ACD=∠ABD一定成立．
由點(diǎn)P（2，4）和直線l得l₁：x+y=6．
聯(lián)立方程組

x2 4 - y2 8 =1 y=-x+6

得C（-6+4

5

，12-4

5

），D（-6-4

5

，12+4

5

）．
所以

AC

•

AD

=0，即

AC

⊥

AD

．由對(duì)稱性可知，

BC

⊥

BD

．
所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以∠ACD=∠ABD．

點(diǎn)評(píng)：解析幾何和導(dǎo)數(shù)的考查一直是近幾年高考的必考知識(shí)點(diǎn)，本題就是幾何和導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單綜合．