Question

已知對任意平面向量

AB

=（x，y），把

AB

繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P．
（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（1+

2

，2-2

2

）．把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)平面內(nèi)直線l上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到的點(diǎn)組成的直線方程是l′：y=-

3

x+1，求原來的直線l方程．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）直接根據(jù)題目定義求解即可；
（2）設(shè)直線l上的任意一點(diǎn)M（x，y），將M繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)N，則

ON

=（xcos

π

4

-ysin

π

4

，xsin

π

4

+ycos

π

4

），代入直線方程是l′：y=-

3

x+1，即可求出直線l方程．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（1+

2

，2-2

2

），
∴

AB

=（

2

，-2

2

），
∵點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)P
∴由題意可知，

AP

=(

2

cos

π

4

+2

2

sin

π

4

，

2

sin

π

4

-2

2

cos

π

4

)
=（3，-1）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3+1，-1+2）=（4，1）；
（2）設(shè)直線l上的任意一點(diǎn)M（x，y），

OM

旋轉(zhuǎn)后的得到

ON

，
則

ON

=（xcos

π

4

-ysin

π

4

，xsin

π

4

+ycos

π

4

）
=(

2

2

(x-y)，

2

2

(x+y))，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

2

2

(x-y)，

2

2

(x+y))，
代入直線方程是l′：y=-

3

x+1得，

2

2

(x+y)=-

3

•

2

2

(x-y)+1
化簡得y=(2+

3

)x-

6 + 2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，以及代入法求直線方程．屬于中檔題．