Question

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)

（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積;

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；

（Ⅲ）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)橐阎?/span>PA⊥平面ABCD，所以求三棱錐E-PAD的體積，用等體積法

求體積時(shí)先找高線，即先觀察面上的垂線，（Ⅱ）點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，EF為三角形的中位線，根據(jù)三角形的中位線可得線線平行，再由直線與平面平行的判定定理得出結(jié)論，（Ⅲ）無論點(diǎn)E在邊BC的何處，暗示本題只需考慮直線AF與平面PBC的垂直關(guān)系即可 由等腰三角形底邊上中線垂直于底邊，即AF垂直于PB，因此只需考慮AF垂直平面PBC另一條直線 經(jīng)觀察，直線BC為目標(biāo)，這是因?yàn)?/span>BC垂于AB,而PA又垂直BC。到此思路已出，只需逆推即可。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）三棱錐E-PAD的體積 4分

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，與平面平行

在中，分別為的中點(diǎn)，

又平面,而平面，

平面 4分

（Ⅲ）證明：平面平面

,又平面,

平面,又平面,

又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，,

又,平面,平面

平面, 4分

考點(diǎn)：三棱錐體積，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)