Question

【題目】如圖，三棱柱中， 平面,,以為鄰邊作平行四邊形,連接.

（1）求證：平面；

（2）若二面角為.

求證：平面平面；

求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析，②.

【解析】試題分析：（1）先證明四邊形 為平行四邊形，從而可得 ，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可得平面；（2）設(shè) 中點為 ，先證明 是二面角為，由此可計算出 的值，根據(jù)勾股定理可得， ，從而可得平面，進而可得結(jié)果；利用 平面，可得為直線與平面所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

試題解析：（1）連接 且,

所以四邊形為平行四邊形 ,

又平面，平面， //平面 ,

（2）①取中點M，連接

,

又 為二面角的平面角 ,

中， ,

,

又 , 平面

又 ， 平面 ，平面， 所以平面平面

②， 平面所成角與平面所成角相等,

由（2）知 , 平面

為線在平面內(nèi)的射影,

為直線與平面所成角,

在 中， ,

直線與平面所成角的正切值為

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、二面角的求法，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.