Question

（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）判定AE與PD是否垂直，并說明理由
（Ⅱ）若為上的動點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）垂直.證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172112439204.gif" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以．又，因此．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172111861246.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，所以．
（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．
由（Ⅰ）知平面，則為與平面所成的角．
在中，，所以當(dāng)最短時(shí)，最大，
即當(dāng)時(shí)，最大．
此時(shí)，
因此．又，所以，                             高#考#資#源#
所以．　
解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172111861246.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面平面．過作于，則平面，
過作于，連接，則為二面角的平面角，
在中，，，
又是的中點(diǎn)，在中，，
又，在中，，
即所求二面角的余弦值為．
解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，
∴，
，
所以．
設(shè)平面的一法向量為，則   
因此取，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172115590332.gif" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以平面，故為平面的一法向量．
又，所以．
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172112158420.gif" style="vertical-align:middle;" />為銳角，所以所求二面角的余弦值為．

略