(2013•湖南模擬)已知f(x)=ax+
bx
+3-2a(a,b∈R)
的圖象在點(1,f(1)處的切線與直線y=3x+1平行.
(1)求a與b滿足的關系式;
(2)若a>0且f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)f(x)在點(1,f(1)處的切線與直線y=3x+1平行建立等式關系:f'(1)=3,即可求出a與b的關系式;
(2)先構造函數(shù)g(x)=f(x)-3lnx=ax+
a-3
x
+3-2a-3lnx,x∈[1,+∞),利用導數(shù)研究g(x)的最小值,討論a的范圍,分別進行求解即可求出a的取值范圍.
解答:解:(1)f′(x)=a-
b
x2

由于f(x)=ax+
b
x
+3-2a(a,b∈R)
的圖象在點(1,f(1)處的切線與直線y=3x+1平行,
則有f′(1)=a-b=3,即b=a-3,
此時,f(1)=a+a-3+3-2a=0≠4,
(2)由f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,得
ax+
a-3
x
+3-2a-3lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=ax+
a-3
x
+3-2a-3lnx,x∈[1,+∞)
則g(l)=0,g′(x)=a-
a-3
x2
-
3
x
=
a(x-
3-a
a
)(x-1)
x2

(i)當a>
3
2
,
3-a
a
≤l
則g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以g(x)≥g(l)=0,f(x)>3lnx,故f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立.
(ii)a=
3
2
時,g′(x)≥0,g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以g(x)≥g(l)=0,f(x)>3lnx,故f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立.
(iii)當0<a<
3
2
,
3-a
a
>l,
則x∈(1,
3-a
a
)時,g′(x)<0,g(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),
x∈(
3-a
a
,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以存在x0∈(1,
3-a
a
),使得g(x0)<g(l)=0,即存在x0∈(1,
3-a
a
),使得f(x0)>3lnx0不成立,
綜上所述,所求a的取值范圍為[
3
2
,+∞).
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及函數(shù)恒成立問題等基礎題知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,分類討論思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(2013•湖南模擬)設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2,上頂點為A,離心率為
1
2
,在x軸負半軸上有一點B,且
BF2
=2
BF1

(1)若過A、B、F2三點的圓恰好與直線x-
3
y-3=0
相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點,在x軸上是否存在點P(m,0),使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,說明理由.

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(2013•湖南模擬)大學生自主創(chuàng)業(yè)已成為當代潮流.長江學院大三學生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金,全部用作批發(fā)某種商品,銀行貸款的年利率為6%,約定一年    后一次還清貸款,已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%,每月月底需要    交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%,當月房租等其他開支1500元,余款作為資金全    部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營,如此繼續(xù),假定每月月底該商品能全部賣出.
(1)設夏某第n個月月底余an元,第n+l個月月底余an+1元,寫出a1的值并建立an+1與an的遞推關系;
(2)預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入.
(參考數(shù)據(jù):1.1211≈3.48,1.1212≈3.90,0.1211≈7.43×10-11,0.1212≈8.92×10-12

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3
2

(1)證明:平面ACD⊥平面ADE,
(2)令AC=x,V(x) 表示三棱錐A-CBE的體積,當V(x) 取得最大值時,求直線AD與平面ACE所成角的正弦值.

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