Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一個零點，又f（x）在x=0處有極值，在區(qū)間（-6，-4）和（-2，0）上是單調的，且在這兩個區(qū)間上的單調性相反．
（Ⅰ）求

b

a

的取值范圍；
（Ⅱ）當b=3a時，討論f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}⊆[-3，2]成立的a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的導數(shù)，通過函數(shù)的極值導數(shù)為0，求出c以及

b

a

的表達式，然后求解取值范圍；
（Ⅱ）b=3a時，利用-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一個零點，化簡函數(shù)的表達式，通過函數(shù)的導數(shù)，分a大于0以及小于0，利用導函數(shù)的符號，即可分類討論f（x）的單調性，求出單調區(qū)間；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：當a＞0時，若-3≤x≤2，則-4a≤f（x）≤16a，當a＜0時，若-3≤x≤2，則16a≤f（x）≤-4a，得到

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

或

a＜0 16a≥-3 -4a≤2

，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=ax³+bx²+cx+d，所以f'（x）=3ax²+2bx+c．
又f（x）在x=0處有極值，所以f'（0）=0即c=0…（2分）
所以f'（x）=3ax²+2bx令f'（x）=0所以x=0或x=-

2b

3a

---------（3分）
又因為f（x）在區(qū)間（-6，-4），（-2，0）上是單調且單調性相反
所以-4≤-

2b

3a

≤-2所以3≤

b

a

≤6-------------------------------（6分）
（Ⅱ）因為b=3a，且-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一個零點，
所以f（-2）=-8a+12a+d=0，所以d=-4a，從而f（x）=ax³+3ax²-4a．
所以f'（x）=3ax²+6ax，令f'（x）=0，所以x=0或x=-2．------------------（8分）
列表如下：

x	-3	（-3，-2）		-2	（-2，0）		0	（0，2）		2
		a＞0	a＜0	a＞0	a＜0	a＞0	a＜0	a＜0	a＞0
f'（x）		+	-	0	-	+	0	+	-
f（x）	-4a	↗	↘	0	↘	↗	-4a	↗	↘	16a

單調區(qū)間：a＞0時，函數(shù)的單調增區(qū)間為：（-3，-2），（-2，0）；單調減區(qū)間：（0，2）
a＜0時，函數(shù)的單調增區(qū)間為：（0，2）；單調減區(qū)間：（-3，-2），（-2，0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：當a＞0時，若-3≤x≤2，則-4a≤f（x）≤16a
當a＜0時，若-3≤x≤2，則16a≤f（x）≤-4a-----------------------（10分）
從而

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

或

a＜0 16a≥-3 -4a≤2

----------------------------------------（12分）
即0＜a≤

1

8

或-

3

16

≤a＜0
所以存在實數(shù)a∈[-

3

16

，0)∪(0，

1

8

]，滿足題目要求．…（13分）

點評：本題考查含有參數(shù)的函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調區(qū)間，最值的求解，考查分類討論，轉化思想的應用，難度比較大．