Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=1-nan(n∈N*)．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由S_n與a_n的關(guān)系，我們從n=1依次代入整數(shù)值，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由a₁，a₂，a₃，a₄的值與n的關(guān)系，我們歸納推理出數(shù)列的通項(xiàng)公式，觀察到它們是與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，故可采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明．

解答：解：（1）計(jì)算得a1=

1

2

；a2=

1

6

；a3=

1

12

；a4=

1

20

．
（2）猜測(cè)：an=

1

n(n+1)

．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，
即ak=

1

k(k+1)

．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．
又Sk=1-kak=

k

k+1

，
所以

k

k+1

+ak+1=1-(k+1)ak+1，
從而ak+1=

1

(k+1)(k+2)

=

1

(k+1)[(k+1)+1]

．
即n=k+1時(shí)，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．

點(diǎn)評(píng)：本題（2）中的證明要用到數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．