Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2x，x≤0 ln(x+1)，x＞0

，若f（x）=ax有且只有一個實數(shù)解，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[1，2]
• B、（-∞，0]
• C、（-∞，0]∪[1，2]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別求出x≤0和x＞0時函數(shù)y=f（x）-ax零點的取值情況，利用數(shù)形結(jié)合切點和直線y=ax，a的取值范圍即可得到．

解答： 解：由y=f（x）-ax=0，得f（x）=ax
∵f（0）=0，
∴x=0是函數(shù)y=f（x）-ax的一個零點，
由條件可知只有一個零點，
故當(dāng)x＜0時，由f（x）=ax，
得-x²+2x=ax，
即-x+2=a，解得x=2-a，
由x=2-a≥0，解得a≤2；
當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）=ln（x+1），
f'（x）=

1

x+1

∈（0，1），
∵x＞0，
∴要使函數(shù)y=f（x）-ax在x＞0時沒有零點，
則a≥1或a≤0，
∵a≤2，
∴1≤a＜2或a≤0，
即實數(shù)k的取值范圍是[1，2]∪（-∞，0]．
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的個數(shù)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象相交問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵，利用切線的臨界位置是解決問題的突破點．