Question

已知n為常數，函數f（x）=

n-2x

1+n•2x

為奇函數．
（1）求n的值；
（2）當m＞0且x∈[0，1]時，函數g（x）=（4^x+（m+1）•2^x+m）•f（x），其中m為常數，求函數g（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據f（0）=0．即可求解

n-1

1+n×1

=0，
（2）轉化為k（t）=-t²+（1-m）t+m，t∈[1，2，利用對稱軸判斷單調遞減，即可得出k（t）≤k（1）=-1+1-m+m=0．

解答： 解：（1）∵知n為常數，函數f（x）=

n-2x

1+n•2x

為奇函數．
∴f（0）=0．
即

n-1

1+n×1

=0，
n=1，
（2）n=1，f（x）=

1-2x

1+2x

，
∵函數g（x）=（4^x+（m+1）•2^x+m）•f（x），其中m為常數，
∴g（x）=-（2^x）²+（1-m）•2^x+m，
令t=2^x，1≤t≤2，
∴k（t）=-t²+（1-m）t+m，m＞0，
對稱軸為t=

1-m

2

＜

1

2

，
∴k（t）=-t²+（1-m）t+m，t∈[1，2]單調遞減，
∴k（t）≤k（1）=-1+1-m+m=0，
∴k（t）的最大值為0．
故函數g（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值0．

點評：本題綜合考查了函數的性質，運用求解參變量的值，最大值，關鍵是轉化為二次函數，判斷單調性求解，難度不大．