Question

設(shè)y=f（x）為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）的極小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)的連線的斜率恒大于0．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法設(shè)出f（x）的解析式，再根據(jù)奇偶性以及極值建立等式關(guān)系，求出參數(shù)即可；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性，任設(shè)兩點(diǎn)并規(guī)定大小，表示出斜率即可判斷符號．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）
∵其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即f（-x）=-f（x）
得-ax³+bx²-cx+d=-ax³-bx²-cx-d
∴b=d=0，
則有f（x）=ax³+cx
由f′（x）=3ax²+c，依題意得f′（

1

2

）=0
∴

3

4

a+c=0①
f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式為：f（x）=4x³-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x²-3＞0
解得：x＞

1

2

或x＜-

1

2

（8分）
∵（1，+∞）?（

1

2

，+∞）
∴x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；（10分）
設(shè)（x₁，y₁），（x₂，y₂）是x∈（1，+∞）時(shí)，
函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，
且x₂＞x₁，則有y₂＞y₁
∴過這兩點(diǎn)的直線的斜率k=

y2-y1

x2-x1

＞0．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及直線的斜率的求解，屬于基礎(chǔ)題．