Question

17．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3}{5}t\\ y=-1+\frac{4}{5}t\end{array}$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標的互化方法求直線l的直角坐標方程；
（2）消去參數(shù)得到圓C的普通方程，求出圓心C到直線l的距離，即可得出結論．

解答 解：（1）將曲線C的極坐標方程化為$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$=cosθ+sinθ，得ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入上式，
得曲線C的直角坐標方程為x²+y²-x-y=0．
（2）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3}{5}t\\ y=-1+\frac{4}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得普通方程4x-3y+1=0，
由（1）知曲線C的直角坐標方程為x²+y²-x-y=0，即${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{2}$，
∴圓C的圓心為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，半徑為$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴圓心C到直線l的距離$d=\frac{{|4×\frac{1}{2}-3×\frac{1}{2}+1|}}{5}=\frac{3}{10}$，
∴$|MN|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}-{{（\frac{3}{10}）}^2}}=\frac{{\sqrt{41}}}{5}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標的互化方法、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．