Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}，公差d不為零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}，滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）由a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列得，（a₅）²=a₂•a₁₄，轉(zhuǎn)化為公差的方程解之；
（II）利用（I）得到b_n，利用裂項(xiàng)求和即可．

解答 解：（I）由a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列得，（a₅）²=a₂•a₁₄，…（2分）
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
解得，d=2或d=0（舍）          …（4分）
a_n=2n-1        …（6分）
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）     …（8分）
所以b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及利用裂項(xiàng)求和的方法；經(jīng)�？疾�，注意掌握．