Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+1），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站概率為P_n．
（1）求P₀，P₁，P₂的值；
（2）求證：P_n-P_n-1=-（P_n-1-P_n-2），其中n∈N，2≤n≤99；
（3）求P₉₉及P₁₀₀的值．

Answer 1

（1）解：棋子開始在第0站為必然事件，
∴P₀=1．
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，
∴P₁=．
棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：
①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為；
②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為．
∴P₂=+=．
（2）證明：棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
①棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為P_n-2；
②棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為P_n-1．
∴P_n=P_n-2+P_n-1．
∴P_n-P_n-1=-（P_n-1-P_n-2）．
（3）解：由（2）知，當(dāng)1≤n≤99時(shí)，
數(shù)列{P_n-P_n-1}是首項(xiàng)為P₁-P₀=-，公比為-的等比數(shù)列．
∴P₁-1=-，P₂-P₁=（-）²，P₃-P₂=（-）³，…，P_n-P_n-1=（-）ⁿ．
以上各式相加，得P_n-1=（-）+（-）²+••+（-）ⁿ，
∴P_n=1+（-）+（-）²++（-）ⁿ=[1-（-）ⁿ⁺¹]（n=0，1，2，，99）．
∴P₉₉=[1-（）¹⁰⁰]，
P₁₀₀=P₉₈=•[1-（-）⁹⁹]=[1+（）⁹⁹]．
分析：（1）由題意知棋子開始在第0站為必然事件，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為P_n-2；②棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為P_n-1．得到連續(xù)三個(gè)概率之間的關(guān)系．
（3）根據(jù)第二問得到的關(guān)于連續(xù)三個(gè)概率之間的關(guān)系，整理出數(shù)列{P_n-P_n-1}是首項(xiàng)為P₁-P₀=-，公比為-的等比數(shù)列．寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)，仿寫一系列式子，把這些式子相加，得到要求的結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查互斥事件的概率公式，數(shù)列的定義，用疊加法求數(shù)列的項(xiàng)，是一個(gè)綜合題，這種問題可以作為高考題目出現(xiàn)，解題時(shí)注意要靈活應(yīng)用所學(xué)知識．