Question

6．如圖，AB為圓O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線BC，任取圓O上異于A、B的一點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)E作圓O的切線，交邊BC于一點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：OD∥AC；
（Ⅱ）若OD交圓O于一點(diǎn)M，且∠A=60°，求$\frac{OM}{OD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OE，BE，證明：OD⊥BE，AE⊥BE，即可證明OD∥AC；
（Ⅱ）若OD交圓O于一點(diǎn)M，且∠A=60°，求出OD=2OB，即可求$\frac{OM}{OD}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：連接OE，BE，則
∵DB，DE分別切圓O于點(diǎn)B，E，
∴BD=DE，
∵OE=OB，
∴OD⊥BE，
∵AB為圓O的直徑，
∴AE⊥BE，
∴OD∥AC；
（Ⅱ）解：∵OD∥AC，∠A=60°，
∴∠BOD=60°，
∵圓O切BD于點(diǎn)B，
∴OB⊥BD．
∴OD=2OB，
∵OM=OB，
∴OD=3OM，
∴$\frac{OM}{OD}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查特殊角的三角函數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．