設(shè)函數(shù)f(x)是增函數(shù),對(duì)于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0);
(2)證明f(x)奇函數(shù);
(3)解不等式
1
2
f(x2)-f(x)>
1
2
f(3x).
分析:(1)利用已知條件通過(guò)x=y=0,直接求f(0);
(2)通過(guò)函數(shù)的奇偶性的定義,直接證明f(x)是奇函數(shù);
(3)利用已知條件轉(zhuǎn)化不等式.通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性直接求解不等式
1
2
f(x2)-f(x)>
1
2
f(3x)的解集即可.
解答:解:(1)由題設(shè),令x=y=0,
恒等式可變?yōu)閒(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
(2)令y=-x,則由f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(0)=0=f(x)+f(-x),即得f(-x)=-f(x),
故f(x)是奇函數(shù)
(4)由
1
2
f(x2)-f(x)>
1
2
f(3x),
f(x2)-f(3x)>2f(x),
即f(x2)+f(-3x)>2f(x),
又由已知得:f[2(x)]=2f(x)
∴f(x2-3x)>f(2x),
由函數(shù)f(x)是增函數(shù),不等式轉(zhuǎn)化為x2-3x>2x.即x2-5x>0,
∴不等式的解集{x|x<0或x>5}.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函f(x)=ln x,g(x)=
12
ax2+bx(a≠0).
(1)若a=-2時(shí),函h(x)=f(x)-g(x),在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函數(shù)φ(x)的最小值;
(3)當(dāng)a=-2,b=4時(shí),求證2x-f(x)≥g(x)-3.

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已知函f(x)=ln x,g(x)=數(shù)學(xué)公式ax2+bx(a≠0).
(1)若a=-2時(shí),函h(x)=f(x)-g(x),在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函數(shù)φ(x)的最小值;
(3)當(dāng)a=-2,b=4時(shí),求證2x-f(x)≥g(x)-3.

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已知函f(x)=ln x,g(x)=ax2+bx(a≠0).
(1)若a=-2時(shí),函h(x)=f(x)-g(x),在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函數(shù)φ(x)的最小值;
(3)當(dāng)a=-2,b=4時(shí),求證2x-f(x)≥g(x)-3.

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