(福建卷文20)已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點(diǎn)()(nN*)在函數(shù)y=x2+1的圖象上.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若列數(shù){bn}滿足b1=1,bn+1=bn+,求證:bn ·bn+2<b2n+1.
本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識(shí),考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,推理與運(yùn)算能力.
解法一:
(Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n從而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+(b2-b1)+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1==2n-1.
因?yàn)閎n·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n<0,
所以bn·bn+2<b,
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因?yàn)?i>b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
=2n(bn+1-2n+1)
=2n(bn+2n-2n+1)
=2n(bn-2n)
=…
=2n(b1-2)
=-2n〈0,
所以bn-bn+2<b2n+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(福建卷文20)已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點(diǎn)()(nN*)在函數(shù)y=x2+1的圖象上.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若列數(shù){bn}滿足b1=1,bn+1=bn+,求證:bn ·bn+2<b2n+1.
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