Question

已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且A₁A⊥平面ABCD，P為A₁A上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)BD且垂直于PC的平面交PC于E，那么異面直線PC與BD所成的角的度數(shù)為

 

，當(dāng)三棱錐E-BCD的體積取得最大值時(shí)，四棱錐P-ABCD的高PA的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：利用線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直；利用三角函數(shù)構(gòu)造EH關(guān)于AP=x的函數(shù)，利用基本不等式求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)的x值．

解答：解：連接BE，DE，∵平面BDE⊥PC，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD，故異面直線PC與BD所成的角為90°；
連接AC，交BD于O，連接OE，過(guò)E作EH⊥AC，垂足為H，
∵A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA₁⊥BD，又BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC，EH?平面PAC，∴EH⊥BD，BD∩AC=0，
∴EH⊥平面ABCD，又OE⊥PC，
在Rt△PAC中，PC=

2+x2

，OC=

2

2

，
設(shè)PA=x，如圖：
EH=

2

2

×cos∠C×sin∠C=

2

2

×

2

2+x2

×

x

2+x2

=

x

2+x2

=

1

2 x +x

≤

1

2 2

=

2

4

V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×EH≤

1

6

×

2

4

=

2

24

，
當(dāng)x=

2

時(shí)取“=”．
故答案是90°，

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線垂直關(guān)系的判定，棱錐的體積計(jì)算，解答本題關(guān)鍵是利用三角函數(shù)構(gòu)造EH關(guān)于AP=x的函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．