Question

已知：函數(shù)f（x）=psinωx•cosωx-cos²ωx（p＞0，ω＞0）的最大值為

1

2

，最小正周期為

π

2

．
（Ⅰ）求：f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的三條邊為a，b，c，滿足a²=bc，a邊所對的角為A．求：角A的取值范圍及函數(shù)f（A）的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)周期公式求出ω的值，由函數(shù)的最大值求出p的值，即可確定出解析式；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式代入并利用基本不等式變形求出cosA的范圍，確定出A的范圍，進而求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（A）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

p

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=

p2+1

2

sin（2ωx-arctan

1

p

）-

1

2

，
由

2π

2ω

=

π

2

，得ω=2，由

p2+1

2

-

1

2

=

1

2

及p＞0，得p=

3

，
則f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

；
（Ⅱ）∵△ABC中，a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

，
∵A為三角形內角，∴0＜A≤

π

3

，
∴-

π

6

＜4A-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（4A-

π

6

）≤1，
則-1≤f（A）≤

1

2

．故值域是[-1，

1

2

]

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，基本不等式的運用，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．