Question

【題目】已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.

（1）判斷曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，然后根據(jù)切線方程與聯(lián)立得到的方程組的解的個(gè)數(shù)可得結(jié)論．（2）由題意求得的解析式，然后通過(guò)分離參數(shù)，并結(jié)合函數(shù)的圖象可得所求的范圍．

詳解：（1）∵，

∴，

∴.

又，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

由得.

故，

所以當(dāng)，即或時(shí)，切線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)，即或時(shí)，切線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，切線與曲線沒有公共點(diǎn).

（2）由題意得，

由，得，

設(shè)，

則.

又，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

所以.

又，，

結(jié)合函數(shù)圖象可得，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．