Question

6．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為銳角，對t∈R，|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞），若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|的最小值得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ=60°，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow$，由（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0得出C在以BM為直徑的圓P上，求出圓P的半徑和OP的長，從而得出|$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{a}-t\overrightarrow$|$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴1+t²-2tcosθ≥$\frac{3}{4}$，即t²-2cosθ•t+$\frac{1}{4}$≥0．
∴△=4cos²θ-1=0，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$．即單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為60°．
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{a}$，
則$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow$，
∵（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，∴MC⊥BC．
∴C在以BM為直徑的圓P上．
∵OB=OA=1，∠AOB=60°，OM=2，
∴圓P的半徑r=BP=$\frac{1}{2}BM$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OP=$\sqrt{O{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴OC的最小值為OP-r=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．