Question

對(duì)任意函數(shù)f(x), x∈D，可按圖示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下:

①輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁=f(x₀)；

②若x₁D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f(x₁)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去.

現(xiàn)定義

（1）若輸入x₀=，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}，請(qǐng)寫出{x_n}的所有項(xiàng)；

（2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；

（3）若輸入x₀時(shí)，產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列{x_n}，滿足對(duì)任意正整數(shù)n均有x_n＜x_n+1；求x₀的取值范圍.

Answer 1

（1）數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)，

（2）當(dāng)x₀=1時(shí)，x_n=1，當(dāng)x₀=2時(shí)，x_n=2（n∈N^*）,（3）x₁∈(1,2),由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2)

解析:

（1）∵f(x)的定義域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)

∴數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)，

（2）∵,即x²–3x+2=0

∴x=1或x=2，即x₀=1或2時(shí)

故當(dāng)x₀=1時(shí)，x_n=1，當(dāng)x₀=2時(shí)，x_n=2（n∈N^*）

（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2

要使x₁＜x₂，則x₂＜–1或1＜x₁＜2

對(duì)于函數(shù)

若x₁＜–1，則x₂=f(x₁)＞4，x₃=f(x₂)＜x₂

若1＜x₁＜2時(shí)，x₂=f(x₁)＞x₁且1＜x₂＜2

依次類推可得數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)均滿足

x_n+1＞x_n（n∈N^*)

綜上所述，x₁∈(1,2),由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).